Основные ресурсы

Применяемые модули

ввести понятие параллельных прямых в пространстве; рассмотреть свойства параллельных прямых; рассмотреть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве. Ввести понятие параллельных и скрещивающихся прямых;  доказать теоремы о параллельности прямых и параллельности 3-х прямых; 

Групповая работа

Научить учащихся применять при решении задач формулы нахождения расстояния между точками и координат середины отрезка;

знакомить учащихся с элементами трехгранного и многогранного углов, многогранника, а также определе­ниями выпуклого многогранного угла и свойствами плоских углов многогранного угла;

восприятие, осмысление и  запоминание учащимися изучаемого материала. Обеспечить усвоение учащимися методики воспроизведения изученного матер

ознакомить с понятием правильного многогранника и с пятью типами правильных многогранников.

Ввести понятие призмы, ее элементов;Знакомство с формулами вычисления площади поверхности призмы;формировать умение учащихся применять теоретический материал к решению задач

ознакомить с понятием многогранник и призма; ознакомить с основами построения многогранников;

развитие умения обобщать полученные знания; развитие логического мышления, внимания; развитие умения четко выполнять чертежи

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Наглядности

Мяч

По методу  «Броуновское движение»

осуществляет проверку домашней работы.

1.  Верно ли, что если концы отрезка лежат в данной плоскости, то и его середина лежит в данной плоскости?
2. Могут ли две плоскости иметь общую точку, но не иметь общей прямой?
3. Точка А не лежит в плоскости KMN. Назовите прямую пересечения плоскостей AMN и AKM.
4. Даны точки А, В, С и D. Плоскость α проходит через прямую АВ, но не проходит через точку С. Прямые AD и ВС пересекаются в точке В. Сколько данных точек лежит в плоскости α?
5. В пространстве даны прямая и точка. Сколько различных плоскостей можно через них провести?
6. Верно ли, что если три данные точки лежат в одной плоскости, то они не лежат на одной прямой?
7. Могут ли три прямые иметь общую точку, но не лежать в одной плоскости?
8. Три прямые пересекаются в точке А. Через данную точку необходимо провести плоскость, содержащую ровно две из трех данных прямых.

Сколько таких плоскостей можно провести? Рассмотрите все возможные случаи.

Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «ДЖИГСО» осуществляет усвоение нового материала. Контролирует выполнение записей учащимися.

Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал.

                                 Изучение нового материала 

1.

2.   Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Однако второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором — такие прямые называются скрещивающимися.

Даем определение. Сопровождаем показ параллельности, пересечения, скрещивания прямых хотя бы на модели куба, параллелепипеда, пирамиды (рисунки с обозначениями).

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. Докажем теорему о параллельных прямых.

Теорема:

Дано: А; А ∈ а. Провести через А прямую b || а, доказать ее единственность (рис. 2).

Доказательство:

По условию даны прямая а и не лежащая на ней точка А. По ранее доказанной теореме через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем плоскость α. Теперь в плоскости а через току А проведем прямую b || а, а из планиметрии известно, что через точку А вне прямой а можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Теорема доказана.

В дальнейшем нам понадобятся такие понятия: два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых, аналогично определяются параллельность отрезка и прямой, параллельность двух лучей.

Докажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, которой будем пользоваться в дальнейшем.

Лемма: а || b; α; а ∩ α = А (рис. 3).

Доказать, что b ∩ α.

Доказательство:

1. а || b определяют плоскость β.

2. Получили, что α и β имеют общую точку А, по аксиоме А3   поэтому  поэтому В ∈ α следовательно, В ∈ b, b ∈ α.

Докажем, что прямая b не имеет других общих точек с плоскостью α, кроме точки В. А это означало бы, что b ⊂ α.

Если бы прямая b имела еще хотя бы одну общую точку с плоскостью α, то она целиком бы лежала в плоскости α, а это значит, что она была бы общей прямой плоскости α и плоскости β, то есть b ≡ m, но это невозможно, так как по условию а || b, и а ⊂ m. Значит,b ⊂ α = B. Лемма доказана.

Задание для группы

1 группа

Дано: М — середина BD; N — середина CD; Q — середина АС; Р — середина АВ; AD = 12 см; ВС = 14 см (рис. 5).

Найти: PMNQP — ?

Решение:

1. MN || BC по составу средней линии ⇒ MN || PQ; PQ || BC.

2. РМ || AD по составу средней линии ⇒ PM || QN; NQ || DA.

3. По определению MNQP — параллелограмм.

4. PQ = 7; РМ = 6 ⇒ РMNQP = 2(7 + 6) = 26.

(Ответ: 26 см.)

Подведение итогов

2 группа Даны скрещивающиеся прямые ,   и точка . Провести через точку  прямую, пересекающую прямые  и .

Решение. Если точка  лежит на одной из прямых  или , то задача тривиальна и имеет бесконечное множество решений. Пусть, например, . Выберем на прямой  произвольную точку  и проведем искомую прямую .

Рассмотрим случай, когда точка T не лежит ни на одной из прямых , . Проведем плоскость  через прямую  и точку . Пусть  (если , решений не существует). Проводим прямую . Если , то прямая  – искомая. Если , решений не существует.

3 группа. В планиметрии справедлива теорема: две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Справедлива ли эта теорема в стереометрии?

Решение. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед .  и , но прямые  и  не параллельны (это скрещивающиеся прямые).

Ответ: нет.

1. Какие две прямые в пространстве называются параллельными?
2. Сформулируйте и докажите теорему о параллельных прямых.
3. Сформулируйте лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми.
4. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они …? Докажите.
5. Прямая и плоскость называются параллельными, если …?

Сформулируйте и докажите теорему о параллельности прямой и плоскости

Проводит рефлексию.

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

Разноуровневые

карточки

Стикеры

Светофор

Бумага А4

Бумага А4

Расстояние между точками
Выразим расстояние между двумя точками А₁(х₁, y₁; z₁) и А₂ (x₂; y₂; z₂) черезкоординаты этих точек.

Рассмотрим сначала случай, когда прямая А₁А₂ не параллельна оси z (рис. 380). Проведем через точки А₁ и А₂ прямые, параллельные оси z. Они пересекут плоскость ху в точках АА₁ и А₂ . Эти точки имеют те же координаты х, у.

что и точки А₁А₂, а координата z у них равна нулю. Проведем теперь плоскость через точку А₂, параллельную плоскости ху. Она пересечет прямую А₁А’₁ в некоторой точке С. По теореме Пифагора

Отрезки СА₂ и A’₁A’₂ равны, а

Если отрезок А₁А₂ параллелен оси z, то А₁А₂= Iz₁ — z₂I. Тот же результат дает и полученная формула, так как в этом случае x₁=x₂, y₁=y₂.

Таким образом, расстояние между точками А₁ и А₂ вычисляется по формуле

Задание для группы

1 группа

1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А( 0;7;6)  и  В(3;5;10)

2.Найдите расстояние между двумя точками С( -1;5; 2) и Д(-1;10;12)

2 группа

1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А( 6;0;4)  и  В(7;2;10)

2.Найдите расстояние между двумя точками С( -3;8; 2) и Д(-1;10;12)

3 группа

1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если А( 20;3;-6)  и  В(4;5;10)

2.Найдите расстояние между двумя точками С( -1;15; 2) и Д(1;10;8)

Коды ответов

Учащиеся проводят самоконтроль.

Учебник

Задача  для группы

. В плоскости ху найти точку D (х; у; 0),
равноудаленную от трех точек: А (0; 1; —1), В ( — 1; 0; 1), С(0; -1; 0).

Решение.

Имеем:

AD² = (x-0)² + (y-0)² + (0 + 1)²,

BD₂=(x + 1)²+(y-0)²+ (0 -1)²,

CD² = (x-0)² + (y+1)²+(0-0)².

Приравнивая первые два расстояния третьему, получим два уравнения для определения х и у:
-4y +1 = 0, 2х-2у + 1 = 0.

Карточки

Кратко написать самое важное, что уяснил с урока с пожеланиями соседу по парте и отправить.

— Что тебе понравилось?

— Что было трудным для тебя?

— Что ты смог сделать без труда?

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

стикеры

оценочный лист

1)   ознакомить учащихся с элементами трехгранного и многогранного углов, многогранника, а также определе­ниями выпуклого многогранного угла и свойствами плоских углов многогранного угла;

2)   продолжить работу по развитию пространственных представлений и пространственного воображения, а также логического мышления учащихся.

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Наглядности

Математический диктант.

Основные фигуры в пространстве. (точка, прямая и плоскость)

1. 1.      Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости (признак параллельности прямой и плоскости)
2. 2.      Признак параллельности плоскостей. (если 2 пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны)
3. 3.      Определение параллельных прямых в пространстве (2 прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются)
4. 4.      ВСТАВТЬТЕ СЛОВА: прямая, пересекающая плоскость, называется ……., если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения данной прямой и плоскости. (перпендикулярной к данной плоскости)
5. 5.      Какие прямые называют скрещивающимися? Чему равно расстояние между ними? (скрещивающиеся прямые – прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости; расстоянием между ними является длина их общего перпендикуляра)
6. 6.      Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. Верно ли это утверждение? Что оно собой представляет? (верно; Это теорема о трех перпендикулярах)
7. Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется… (расстояние от любой точки этой прямой до плоскости)

Для свободного размышления предлагает ученикам  составить «Кластер».

Трехгранный и многогранный угол
Рассмотрим три луча a, b, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (аbс) называется фигура, составленная из трех плоских углов (аb), (bс) и (aс) (рис. 400). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны — ребрами . Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис. 401).

Задача (2). У трехгранного угла (аЬс) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре Ь равен, а плоский угол (bс) равенНайдите два других плоских угла:=(аb),=(ac).

Решение. Опустим из произвольной точки А ребра a перпендикуляр АВ на ребро b и перпендикуляр АС на ребро с (рис. 402). По теореме о трех перпендикулярах СВ — перпендикуляр к ребру b.

Из прямоугольных треугольников ОАВ, ОСВ, АОС и ABC получаем:

— позволяют, зная два угла, найти два других.

Трехгранный угол можно обозначать так: OABC

Рассмотрев  внимательно все многогранные углы, изображенные на рисунке 3, мы можем заключить, что у каждого из многогранных углов одинаковое число ребер и граней:

• у четырехгранного угла — 4 ребра,

4 грани и одна вершина;

• у пятигранного угла — 5 ребер, 5 граней и одна вершина;
• • у шестигранного угла — 6 ребер, 6 граней и одна вершина и т. д.

Многогранные углы бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Представьте себе, что мы взяли четыре луча с общим началом, какна рисунке 4. В этом случае мы получили невыпуклый многогран­ный угол.

Определение 1. Многогранный угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Другими словами, выпуклый многогранный угол всегда можно положить любой его гранью на некоторую плоскость. Вы видите, что в случае, изображенном на рисунке 4, так поступить не всегда удается. Четырехгранный угол, изображенный на рисунке 4, является невыпуклым.

Задание для группы

1. Решение задач.

1 группа

Алгоритм 1. Построение линейного угла:

— на ребре угла выбрать точку;

— провести в гранях через нее полупрямые, перпендикулярные ребру.

Основание: признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2 группа

Алгоритм 2. Построение линейного угла:

— выбрать точку А в одной из граней;

— опустить перпендикуляр АВ на плоскость другой грани;

— опустить перпендикуляр АС на ребро угла.

Основание: теорема о 3-х перпендикулярах.

1. II.                 Закрепление изученного материала.

Вопросы:

— Что такое двугранный угол (грань угла, ребро угла)?

— Что такое линейный угол двугранного угла?

— Почему мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла?

— Что такое трехгранный угол (грань угла, ребро угла)?

— Объясните, что такое плоские и двугранные углы трехгранного угла.

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

Стикеры

Установить правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления, провести коррекцию

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Наглядности

Свойства плоских углов многогранного угла

Теорема 1. Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

Теорема 2. Сумма величин всех плоских углов выпуклого мно­гогранного угла меньше 360°.

Свойство 1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Свойство 1‘. Биссектральные плоскости двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одной прямой.
Доказательство аналогично плоскому случаю. А именно, пусть SABC – трехгранный угол. Биссектральная плоскость двугранного угла SA является ГМТ угла, равноудаленных от его граней ASC и ASB. Аналогично, биссектральная плоскость двугранного угла SB является ГМТ угла, равноудаленных от его граней BSA и BSC. Линия их пересечения SO будет равноудалена от всех граней трехгранного угла и, следовательно, через нее будет проходить биссектральная плоскость двугранного угла SC.
    Свойство23. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
    Свойство 2‘. Плоскости, проходящие через биссектрисы граней трехгранного угла и перпендикулярные этим граням, пересекаются по одной прямой.
Доказательство аналогично доказательству предыдущего свойства.
    Свойство 3. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
    Свойство 3‘. Плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла и биссектрисы противоположных граней пересекаются по одной прямой.
    Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол SABC, SA = SB = SC (рис. 5). Тогда биссектрисы SA₁, SB₁, SC₁ углов BSC, ASC, ASB являются медианами соответствующих треугольников. Поэтому AA₁, BB₁, CC₁– медианы треугольника ABC. Пусть O – точка их пересечения. Прямая SO содержится во всех трех рассматриваемых плоскостях и, следовательно, является линией их пересечения.

                Работа в группах.

Учебник

Ноутбук

Задачи: Обеспечить применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР, создать условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения изученного.

Задачи: Инициировать рефлексию учащихся на самооценку своей деятельности. Обеспечить усвоение учащимися принципов само регуляции  и сотрудничества.

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

стикеры

Образовательная: ознакомить с понятием правильного многогранника и с пятью типами правильных многогранников.

Развивающая: показать связь теории и практикой, развивать навыки самостоятельной работы, логическое мышление, математическую речь.

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

наглядности

По таксономии Блума осуществляет проверку домашней работы.

Вопросы на повторение:

1) дать определение многогранника;

2) дать определение выпуклого многогранника;

3) дать определение правильной призмы и построить правильную треугольную и             четырехугольную призмы;

4) дать определение правильной пирамиды и построить правильную треугольную и четырехугольную пирамиды;

5) дать определение куба;

6) из чего состоит поверхность правильной призмы, пирамиды и куба?

Постановка цели урока. Мотивация изучения материала. По методу «ДЖИГСО» осуществляет усвоение нового материала. Контролирует выполнение записей учащимися. Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал.

Многогранник называется правильным, если:

а) он выпуклый;

б) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники;

в) в каждой его вершине сходится одинаковое число граней;

г) все его двугранные углы равны.

-Под это определение не попадает правильная призма и пирамида. Существует всего пять типов правильных многогранников. Покажем, почему существует всего пять типов или возможностей. Пусть k – число многоугольников, прилежащих к одной вершине (их должно быть не менее 3), сумма углов, прилежащих к одной вершине должна быть меньше 360 градусов, иначе никакой многогранный угол из этих многоугольников составить не удастся.

-Рассмотрим правильный треугольник, каждый угол которого 60градусов, значит при одной вершине k×60<360. k=3, 4, 5. Поэтому число треугольников, состоящих в каждой вершине правильного многогранника, может быть 3, 4 или 5 (три возможности).

-Рассмотрим правильный четырехугольник (квадрат): k×90< 360,  k < 4  k=3. Добавляется только одна возможность k=3, т.е. в каждой вершине сходится по три квадрата.

-Рассмотрим правильный пятиугольник (каждый угол которого равен 108): k×108 < 360,

k<10/3  k=3. Еще одна возможность (три пятиугольника в каждой вершине).

-Рассмотрим правильный шестиугольник (каждый угол которого 120): k×120 < 360, k < 3

4. Открытие детьми нового знания.

-Итак,  имеется пять возможностей: в вершине правильного многогранника сходится 3, 4, или 5 треугольников, 3 квадрата или 3 пятиугольника.

-Если при вершине сходится 3 треугольника, то  многогранник называется правильный тетраэдр;

если при вершине сходится 3 квадрата, то многогранник называется правильный гексаэдр;

если при вершине сходится 3 пятиугольника, то многогранник называется правильный додекаэдр;

если при вершине сходится  4 треугольника, то многогранник называется правильный октаэдр;

если при вершине сходится 5 треугольников, то многогранник называется правильный икосаэдр.

Задание: Посчитать число граней, ребер,  вершин правильных многогранников пяти типов и результат занести в таблицу.

5. Немного истории.

-Все эти типы многогранников были известны в Древней Греции. Именно им посвящена завершающая, XIII книга «Начал» Евклида. Их называют также «Платоновыми телами» — они занимали видное место в идеалистической картине мира древнегреческого философа Платона. Четыре из них олицетворяли в ней четыре «сущности» или «стихии». Тетраэдр – огонь,  икосаэдр  – воду, куб – землю, октаэдр – воздух. Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе все «сущее», символизировал все мироздание, почитался главнейшим. Уже по латыни в средние века его стали называть «пятая сущность» или «квинта эссенция».

-Леонардом Эйлером (1707-1783) — великим математиком, физиком и астрономом, швейцарцем по рождению, членом Петербургской академии, работавшим в России в 1727–1741 гг., была доказана удивительная теорема:  Для любого выпуклого многогранника число В-Р+Г=2. И вошла теорема в историю  математики  как теорема Эйлера.

Задание: Проверить  для правильных многогранников.

Задание для группы

Решить задачи:

1 группа:  Вычислить площадь поверхности икосаэдра, длина ребра которого равна а.

2 группа:  Поверхность додекаэдра равна 180 см кв. Найти площадь его грани.

3 группа: Вычислить площадь поверхности октаэдра, длина ребра которого а.

Работа по карточками для группы

Заполнить таблицы, используя модели правильных многогранников. Сделать вывод.

Кроссворд

По горизонтали:

 2. Правильный шестигранник. 4. Плоские многоугольники, из которых состоит поверхность многогранника. 5. Высота боковой грани правильной пирамиды. 7. Правильный двадцатигранник. 8. Правильный двенадцатигранник. 10. Основание правильной четырёхугольной пирамиды. 11. Древнегреческий философ,  подробно описавший правильные многогранники. 12. Призма, основанием которой служит параллелограмм.

По вертикали:

1. Треугольная пирамида. 3. Сторона грани многогранника. 6. Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. 9. Автор теоремы (формулы) В+Г=Р+2, показывающей зависимость между вершинами, гранями и рёбрами выпуклого многогранника.

Первичное закрепление.

-Так что все-таки означает фраза «Существует пять типов правильных многогранников»?

-Являются ли правильным тетраэдром правильная треугольная пирамида, в основании которой:

а) равны периметры всех граней? (да)

б) равны площади всех граней? (нет)

в) равны высоты? (да)

Проводит рефлексию.

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

стикеры

и цель урока

Основные ресурсы

Применяемые модули

2

способствовать развитию, у учащихся, навыков наглядно отражать на чертежах взаимное расположение прямых и плоскостей и навыков изображения призм, пирамид, цилиндра, конуса, шара.

Групповая работа

4

Изучить аксиомы, следствия из аксиом, теоремы, следствия о взаимном расположении  прямых и плоскостей в пространстве;

Развитие пространственного представления геометрических тел.

Познакомить с аксиомами стереометрии, основные понятия стереометрии

Формирование аккуратности выполнения чертежей

способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи учащихся, внимания, навыков счёта; развивать умение работать в группах и в парах.

8

ввести понятие параллельных прямых в пространстве; рассмотреть свойства параллельных прямых; рассмотреть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве

10

Ввести понятие скрещивающихся прямых. Доказать признак скрещивающихся прямых.

создать условия для того, чтобы  к концу урока учащиеся будут владели  следующими умениями:

— моделировать примеры расположения прямых и плоскостей в пространстве, приводить примеры из окружающей обстановки;

13

рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве;

ввести понятие параллельности прямой и плоскости;

Изучить аксиомы, следствия из аксиом, теоремы, следствия о взаимном расположении  прямых и плоскостей в пространстве;

Выработать навыки решения задач по данной теме;

Формирование представлений о целостности и непрерывности курса геометрии;

Развитие пространственного представления геометрических тел.

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Наглядности

Математический диктант (с последующей проверкой).

(Используется раздаточный материал)

1). Сформулируйте аксиомы стереометрии:

Аксиома 1. __________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Аксиома 2. __________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Аксиома 3. __________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2). Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

а). Для любой прямой существуют точки, принадлежащие ей, и _____________ ______________________________________________________________________

б). Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом ______________________________________________________________________

в). Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом_________ ______________________________________________________________________

г). Если

д). Если

Для свободного размышления предлагает ученикам  составить «Кластер».

Работая в группах, ученики самостоятельно составляют кластер.

Объяснение нового материала сопровождается  презентацией№1

1. 1.      Решение задачи для группы

1. 2.      Самостоятельное работа для группы .

1 Группа. Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы куба? Заштрихуйте соответствующие плоскостям грани куба.

2 группа. Верно ли выполнено на рисунке следующее задание: “Изобразите плоскость  , проходящую через точку С, не принадлежащую плоскости   и пересекающую плоскость   в точках А и В, и линию пересечения этих плоскостей”. При необходимости исправьте рисунок.

3 группа. Укажите ошибки на рисунках.

4 группа. Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, В, D?

Решение кроссворда.

По горизонтали:

1. Тело, ограниченное конечным числом многоугольников.
2. Ограниченная замкнутая область в пространстве.
3. Буква.
4. Часть геометрии, в которой изучаются свойства фигур в пространстве.
5. Ситуация, в которой требуется найти решение.
6. Комплект приемов и операций, необходимых для решения задачи.
7. Часть геометрии, в которой изучаются свойства фигур, расположенных в одной плоскости.
8. Логическое рассуждение, обосновывающее или опровергающее какое-либо утверждение.

По вертикали:

1. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
2. Утверждение, которое принимают за одно из основных положений теории.
3. Математическая модель конфликтной ситуации.
4. Предложение, истинность которого устанавливается при помощи доказательства.
5. Простейший объект геометрии, характеризуемый только его положением.
6. Операция.
7. Одно из основных понятий математики.

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

Стикеры

Формирование аккуратности выполнения чертежей

Использовать аксиомы стереометрии при решении задач

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Наглядности

По таксономии Блума осуществляет проверку домашней работы.

Постановка цели урока. Мотивация изучения материала.» осуществляет усвоение нового материала.Контролирует выполнение записей учащимися. Предлагает ученикам составить «Синквейн»

Работая в группах, ученики самостоятельно изучают новый материал.

Решение задачи для группы

Дан тетраэдр АВСD (Рис. 6). Даны следующие точки: точка Е – внутренняя точка ребра АВ, точка Р – внутренняя точка отрезка ЕD, точки М и К, соответственно, на ребрах ВD и DС.

1 группа  а) В какой плоскости лежит прямая

Ответ: . Прямая РЕ лежит в плоскости АВD, так как в этой плоскости лежат две точки этой прямой. Точка Е лежит в плоскости АВD и точка Р лежит в этой же плоскости. Значит, по второй аксиоме все точки прямой РЕ лежат в плоскости АВD.

б) В какой плоскости лежит прямая

Ответ: . Прямая MK лежит в плоскости DBC, так как в этой плоскости лежат две точки этой прямой. Точка M лежит в плоскости DBC и точка Р лежит в плоскости DBC. По второй аксиоме все точки прямой MK лежат в плоскости DBC.

в) В каких плоскостях лежит прямая

Ответ: Прямая BD лежит в плоскостиBDА и в плоскости BDС. Значит, прямая BD одновременно лежит в двух плоскостях. Прямая BD есть линия пересечения двух плоскостей. Говорят, что грани АBD, BDС пересекаются по прямой BD. Это можно записать так:

.

г) В каких гранях лежит прямая ?

Ответ: Прямая АB лежит в грани АВС и в грани АBD. Значит, прямая АВ есть линия пересечения двух этих граней.

д) В каких гранях лежит прямая ?

Ответ: Прямая EC лежит в плоскости АВС и в плоскости ECD, так как точки Е и С лежат одновременно в плоскости АВС и в плоскости ECD. Значит, прямая ЕС есть линия пересечения этих плоскостей.

2 группа

а) Найдите точку пересечения прямой DК с плоскостью АВС.

Решение:

Прямая DК содержит точку С. Плоскость АВС содержит точку С. Значит, прямая DК и плоскость АВС пересекаются в точке С.

б) Найдите точку пересечения прямой СЕ с плоскостью АDВ.

Решение:

Точка Е принадлежит и прямой СЕ, и плоскости АDВ. Значит, Прямая СЕ пересекается с плоскостью АDВ в точке Е.

3 группа

а) Найдите точки, лежащие одновременно в плоскостях АDВ и DВС.

Решение:

Точка В и точка D одновременно лежат и в АDВ, и в DВС. Значит, . Все точки прямой DВ являются ответом.

б) Найдите прямые, по которым пересекаются плоскость АDВ и DВС.

Решение:

Точка В и точка D одновременно лежат и в АDВ, и в DВС. Значит, прямая DВ есть прямая, по которой пересекаются заданные плоскости. 

в) Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости АDВ и СDА.

Решение:

Точки А, D лежат в плоскости АDВ, а также точки А, D лежат в другой плоскости СDА. Значит, АD – линия их пересечения: .

г) Назовите прямые, по которым пересекаются плоскости РDС и АВС.

Решение:

Плоскость РDС совпадает с плоскостью ЕDС. Точка Е и точка С одновременно лежат в двух плоскостях: РDС и АВС. Значит, СЕ – это линия пересечения двух плоскостей.

Проводит рефлексию.

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

На стикерах записывают свое мнение по поводу урока.

Стикеры